从数学上帝粒子到基本函数：一个运算符的完整推导

机器之心编辑部

仅凭一个简单的二元运算符和常数1，就能构建出科学计算器上的所有基础数学函数？这听起来像是数学领域的终极简化梦想，而近期一项来自计算机科学界的突破性研究，正将这个看似不可思议的构想变为现实。

这项能够将复杂数学体系极度简化的底层发现，被广泛认为具有革命性潜力。该研究的论文作者Andrzej Odrzywołek来自波兰雅盖隆大学。

在数字逻辑与计算机电路设计中，NAND门（与非门）的完备性是一个众所周知的奇迹：仅使用这一种双输入逻辑门，就可以构造出任何布尔逻辑电路。整个现代计算机的运算基础，都可以由这同一种基本单元构建而成。早在1913年，Henry Sheffer发现的“Sheffer竖线”运算，就揭示了一个深刻事实：看似复杂的数字逻辑世界，其底层可能仅由一个基本原子构成。

那么，在数学运算的领域，是否也存在这样一个“数学运算的上帝粒子”或“终极基本单元”呢？

论文作者Andrzej Odrzywołek的研究，正是致力于将繁杂的数学运算符体系进行彻底解构，并成功找到了那个统一的答案。这很可能标志着对现有数学运算基础架构进行根本性重构的开端。

解构计算器：寻找数学原语

该研究采用的方法直观而系统：从一台标准科学计算器所具备的36个基本原语（包括命名常数、一元函数和二元运算符）清单出发，进行系统的“功能消融测试”。每一次测试都尝试移除其中一个元素，然后检验剩余的元素集合是否仍然能够通过组合，重新构建出所有原始功能。

这个过程充满了探索与迭代。论文将这一逐步简化的过程记录为一个递减的序列：

Calc 3：缩减至6个原语（取反、倒数、指数函数exp、自然对数ln、加法），其表达能力已首次超越了Wolfram Language的指令集。
Calc 2：进一步精简到仅需3个原语（exp、ln、减法）。
Calc 1：探索了另一条路径，使用二元幂运算及其逆运算（二元对数）作为基础，但需要引入自然常数e或圆周率π作为终端常量。
Calc 0：通过将常数e吸收进exp函数的定义中，最终将基础集缩减到仅剩3个原语。

每一步成功的缩减都使得“存在单一万能运算符”的猜想变得更加可信。最终，在Calc 0的启发下，研究者开始系统地枚举所有初等二元函数作为候选的单一运算符，并配合自动生成的常数进行测试。

在经历了大量失败的尝试和若干次误报之后，最终的答案终于浮现：

这个被命名为EML（Exp-Minus-Log，即指数减对数）的双输入运算符，配合常数1，共同构成了完整的初等函数基础。这意味着，一台理论上只配备两个按钮——EML运算符和数字1——的计算器，能够完成当今任何科学计算器所能执行的所有运算。

值得注意的是，EML并非孤立的解。论文还报告了它的两个“近亲”运算符，它们同样具备这种完备性：

EML如何衍生万物

要理解EML运算符的强大威力，关键在于观察它如何像搭积木一样，逐层构建出我们熟悉的所有数学对象。

上图展示了完整的“数学系统发育树”：从EML这个“最后的共同祖先”出发，通过螺旋式展开，每一个箭头代表一次EML运算符的组合操作，逐步衍生出全部36个计算器原语。图中粗箭头标记的是直接由EML和常数1构成的表达式，而细箭头则依赖于已经生成的中间产物。

在形式语言层面，EML表达式的文法简洁到令人难以置信：

这意味着，每一个初等函数表达式，在本质上都可以被表示为一棵由完全相同的EML节点所构成的满二叉树。

不同函数在EML树表示下所需的深度差异显著：例如，指数函数仅需深度为1的树，而乘法运算则需要深度为8的树。大多数常用的数学函数其EML树深度落在5到9层之间。这种深度的差异直观地反映了不同函数在EML统一框架下的“编码复杂度”或“构造距离”。

从基础数学到机器学习的潜在应用

EML的发现，其深远影响很可能超越纯数学的理论范畴，尤其在机器学习与人工智能领域展现出巨大的应用前景。

现代符号回归方法致力于从数据中自动发现简洁的数学闭式表达式，但其面临的挑战在于搜索空间通常包含多种异构的数学算子（如加、减、乘、除、三角函数、指数对数等）。算子集合选择过小可能导致表达能力不足，无法找到解；选择过大则会使搜索空间组合爆炸，陷入维数灾难。

EML为解决这一难题提供了全新的范式：既然所有初等函数都可以用同一种EML节点来表示，那么符号回归的搜索空间就简化为一个结构统一的二叉树空间。这极大地降低了问题的复杂性。

研究团队进行了一项概念验证实验：给定一个目标函数（例如正弦函数sin(x)），他们尝试使用梯度下降法来优化一棵随机初始化的EML树的参数（即叶子节点的值，这些值被约束为只能是0或1），观察其是否能收敛到精确表示该目标函数的树结构。

实验结果富有启发性：
深度2的树：成功率达到100%，随机初始化即可精确恢复目标函数。
深度3–4的树：成功率约为25%。
深度5的树：成功率低于1%（在448次尝试中未观察到成功）。
深度6的树：在实验中未观察到成功恢复。

这初步表明搜索难度随着EML树深度的增加而急剧上升。然而，一个关键的转折点出现了：当从接近正确参数的值附近开始初始化，并加入高斯噪声时，优化器在100%的运行中都能收敛回精确值，即使对于深度5到6的树也是如此。这说明EML树对应的正确参数区域（吸引盆）确实是存在的，问题在于纯粹的随机初始化很难落入这个有利的区域。

一旦训练成功，通过一个“硬化”过程，模型中的浮点参数会被“锁定”到精确的二进制值（0或1）。此时，模型的均方误差可以降至机器精度量级（约10⁻³²），这意味着模型并非近似，而是精确地恢复了目标数学公式的闭式表达式。

这开启了一种激动人心的可能性：实现可解释的符号发现。与传统神经网络内部如同黑箱的机制不同，训练成功的EML树可以直接被“解读”出来——每一棵优化好的树都明确对应一个人类可读、可理解的数学公式。这为构建既拥有强大学习能力，又具备高度可解释性的AI模型指明了一条崭新的路径。

论文作者在结尾指出，EML可能仅仅是冰山一角。初等函数这个看似庞杂的家族，其内部所蕴含的统一性与简洁性，或许远超我们以往的认知。这台理论上只有两个按钮的“终极计算器”，其背后所蕴藏的简洁美感与强大力量，可能比我们想象的更为深远。