卷积神经网络应用与技术详解

从图像分类到目标检测，再到实例分割和场景理解，深度卷积神经网络（CNN）已经在深度学习应用的多个领域展现出了卓越性能，其泛化能力也令人印象深刻。南洋理工大学的一篇综述论文《Recent Advances in Convolutional Neural Networks》对CNN的关键组件及近年来的进展进行了系统梳理，内容涵盖了卷积、池化的数学原理，以及常用的激活函数和损失函数。机器之心技术分析师对这篇论文做了解读。

话说回来，这篇综述不仅梳理了CNN从诞生至今的发展脉络，还给出了几个关键要点：卷积层的数学基础是什么？池化层又是如何工作的？常用的激活函数有哪些？损失函数怎么选择？基于CNN的应用又有哪些？下面我们逐一来看。

卷积层的数学原理

如果要问CNN核心层所采用的计算原理，数学公式是这样的：第l层的第k个特征图在位置(i,j)处的特征值z_{i,j,k}^l，是通过以下方式计算得到的——

其中，w_k^l是第l层的权重，b_k^l是第l层的偏置，而x_{i,j}^l则是第l层在(i,j)位置的输入图块。值得留意的是，同一个特征图内的权重是共享的。这种权重共享机制是CNN的一大优势，因为它能大幅减少参数量，降低计算复杂度，同时也让训练和优化变得更简单。

基于这类基本卷积层的最著名应用之一，就是用于USPS数字和MNIST识别的LeNet-5，它的结构如下图所示。

LeNet-5由三类层构成：卷积层、池化层和全连接层。卷积层的目标是学习更能代表输入的特征，池化层负责降低空间维度，全连接层则用于类别预测。具体来讲，卷积层由多个卷积核组成，每个卷积核都能生成一个特征图。而特征图中的每个神经元，都与前一层中一个临近的神经元区域相连，这个区域就是所谓的“感受野”。

如上图所示，通过求输入与一个已学习的卷积核的卷积，可以得到一个新的特征图，然后在结果上逐元素地应用非线性激活函数。即便是在今天，MNIST和USPS数字分类的效果依然很好，不少研究者还会用它们来验证新算法。可以说，任何类型的卷积网络在这类数据集上，都能轻松实现97%到98%的准确率。

近年来，研究者也提出了一些新的卷积架构。其中比较有名的是扩张卷积。扩张卷积为卷积层引入了额外的超参数——扩张因子。通过在过滤器之间插入零值，可以有效增大网络的感受野，使其覆盖更多相关信息。从数学上看，一维信号的扩张卷积公式如下：(F_{*l} k)_t = sum_t (k_t * F_{t−l * t})，其中*l表示l-扩张卷积。这个公式可以直接扩展到二维空间。

上图中展示了三层扩张卷积，其中扩张因子l每层呈指数增长。中间特征图F2是由底部特征图F1经过1-扩张卷积得到的，F2中的每个元素拥有一个3x3的感受野。F3由F2经过2-扩张卷积得到，而F4则是由F3经过4-扩张卷积得到的。具体细节可以看看图上红框标注的部分。

池化层的数学原理

池化层是CNN中另一个关键模块。它的核心目标是降低特征图的大小，方法是通过某个函数来融合子区域——最常见的就是取平均值或最大值/最小值。池化的工作方式，是在输入上滑动一个窗口，然后将窗口中的内容送入池化函数；整个过程类似于离散卷积，只不过用其他函数替代了卷积核的线性组合。

描述池化层特性的数学公式相对直接，它涉及几个关键参数：输入大小i_j，池化窗口大小k_j，步幅s_j。沿方向j的输出大小o_j可以这样计算：o_j = (i_j - k_j) / s_j + 1。需要注意的是，池化层通常不会使用零填充。

最大池化和平均池化实际上可以归纳为Lp池化，它的数学描述如下：

其中，y_{i,j,k}是池化算子在第k个特征图位置(i,j)处的输出，a_{m,n,k}是第k个特征图中池化区域R_{ij}内位置(m,n)处的特征值。特别要指出，当p=1时，Lp池化对应平均池化；当p趋近无穷大时，Lp池化退化为最大池化。

池化还有一些其他选择，比如混合池化。混合池化的公式可以写成：

可以把它看作是最大池化和平均池化的混合版，其中λ是一个0到1之间的随机值，它决定了使用平均池化还是最大池化。从实践来看，这种方法有助于降低过拟合风险，且表现通常比单独使用最大池化或平均池化要好一些。

某些常用的激活函数

ReLU

上图展示的是ReLU函数。ReLU激活函数的定义如下：

这里z_{i,j,k}是第k通道中位置(i,j)处激活函数的输入。ReLU是一个逐元素操作的函数，它会保留正数部分，把负数部分全部变成零。相比sigmoid或tanh，ReLU中的max(.)运算让它速度快很多。不过，它也有一个明显的缺点：在零点处不连续，这在反向传播过程中可能带来梯度消失的问题。

Leaky ReLU

为了缓解梯度消失问题，研究者提出了Leaky ReLU这个重要的变体。它的数学形式为：

其中λ的取值范围是(0,1)。Leaky ReLU没有强制将负数部分设为零，而是允许它有一个较小的非零梯度。

PReLU

上图是PReLU的图示。PReLU和Leaky ReLU的不同之处在于参数λ的处理方式。PReLU的公式如下：

这里的λ_k是第k个通道通过学习得到的参数。也就是说，这些λ不是预先设定的，而是从数据中学习而来的。可学习的参数λ_k的数量正好等于网络中通道的数量。由于用于训练的额外参数很少，所以不用担心过拟合问题；它可以在反向传播过程中与其他参数一起同步优化。当然，还有不少其他实用的非线性激活函数，比如ELU、Maxout等。

某些常用的损失函数

Hinge损失

Hinge损失通常用于训练SVM及其变体。用于多类SVM的Hinge损失定义如下：

这里，w是可训练权重；δ(y(i), j)是指示函数：如果y(i) = j，输出为1，否则为0。N是样本数量，K是类别数量。如果p=1，称为L1-Hinge损失；如果p=2，则称为L2-Hinge损失。

Softmax损失

Softmax损失可以说是分类任务中最流行的损失函数了。其中N是图像数量，K是类别数量，p_j是第j类的概率，y是真实标签。1{.}也是一个指示函数：如果y_i == j，输出为1，否则为0。Softmax损失可以看作是logistic损失的一种泛化形式，它将预测结果转换成(0,1)范围内的非负值，并给出一个在各类别上的概率分布。

对比损失

对比损失常用于训练图像检索或人脸验证中的孪生网络。它的基本思想是：增大不相似配对之间的距离，同时减小相似配对之间的距离。数学公式如下：

如果y=1，第二项为0，全部损失来自第一项，意味着目标就是缩小相似配对之间的距离。如果y=0，第一项为0，全部损失来自第二项，目标变为拉大不相似配对之间的距离。需要留意的是，如果不相似配对之间的距离小于余量，总损失会增加。

三重损失

三重损失是对对比损失的一种巧妙改进。假设有三张图像：(x_a, x_p, x_n)——锚图像、正例图像和负例图像。损失公式如下：

其中N是图像数量，d_{a,p}是锚图像与正例图像之间的距离，d_{a,n}是锚图像与负例图像之间的距离，m是余量。它的目标是让d_{a,n}尽可能大，使得d_{a,p}与d_{a,n}之差大于余量m。简单说，就是同时最小化锚图像与正例的距离，最大化负例与锚图像的距离。

当然，常用的损失函数还有很多，比如histogram损失、LDA损失、KL散度损失等，这里就不一一列举了。

CNN的应用

图像分类

2012年，Krizhevsky等人提出了LeNet-5的一个扩展版本——AlexNet，并在ILSVRC 2012上取得了当时最佳的表现。上图中的架构就是AlexNet。由于当时计算时间受限，他们采用了并行训练方式：一个GPU处理图中顶部的层，另一个GPU处理底部的层。

目标检测

2014到2017年间，微软和Facebook的研究人员开发了多种基于CNN的目标检测方法，包括R-CNN、SPP-Net、Fast RCNN、Faster RCNN以及Mask RCNN。上图展示的是基础的R-CNN流程。从原始图像中提取出区域提议后，这些提议会被调整为固定尺寸，然后输入到一个预训练的CNN中。之后，输出的特征会经过边界框回归和分类模块进行精细优化。

图像分割

图像分类任务可以大致分为语义分割和实例分割两大类，其核心目标是预测单张图像中每个像素的类别。CNN可以从像素级别或图块级别来预测类别可能性。Long等人提出了一种用于像素级分割的全卷积网络。如上图所示，它和一般的网络结构类似，只是最后一层有所不同——这一层被称为“去卷积层”。它的学习目标是对标签图进行上采样，恢复其分辨率。最终输出是一张图像，其中包含了密集的像素级预测结果。

基于CNN的方法还被应用于许多其他领域，比如图像检索、人脸识别、文本分类、机器翻译、3D重建、视觉问答、图像绘制等。限于篇幅，这里不可能一一覆盖。

分析师简评

尽管CNN表现出色且泛化能力优异，但仍有几个问题亟待解决。首先，CNN的训练需要大规模数据集和强大的计算能力，而人工收集数据成本高昂且容易出错。因此，研究者们正在探索弱监督学习和无监督学习，希望能有效利用大量未标注的数据。与此同时，为了加速训练，开发高效且可扩展的并行训练算法也十分必要。最后，也是最重要的一个命题：如何解释网络内部的工作原理。试想，如果人们无法理解CNN为何会给出某个结果，恐怕没有人愿意乘坐一辆基于CNN的自动驾驶汽车，也未必愿意接受基于CNN的医疗诊断。这，才是未来真正的挑战所在。

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