计算机负数为什么要用补码表示

在计算机领域，数字的编码方式蕴含着许多精妙的设计理念。今天我们来深入讨论机器数与真值的概念，以及原码、反码、补码——这些基础知识看似简单，但一旦彻底掌握，许多底层运行机制便会变得清晰易懂。

机器数与真值

机器数

一个数值在计算机中的二进制表现形式，被称为它的机器数。机器数带有符号位：正数的符号位为0，负数的符号位为1。然而，不能简单地把符号位改为1就得到负数的表示——来看下面的示例：

• 十进制数 +3，机器数为 00000000000000000000000000000011
• 十进制数 -3，机器数并非 10000000000000000000000000000011 这么直接。实际存储的是 11111111111111111111111111111101 ——这是 -3 的补码形式。因为负数在计算机内部都是以补码方式存储的。

真值

真值指的是数学意义上的实际数值。由于最高位用作符号位，机器数的形式值与其真值并不相等。例如：

00000000000000000000000000000011 -> +3
11111111111111111111111111111101 -> -3

上述讨论针对有符号数。对于无符号数而言，机器数与真值是完全一致的。

无符号数与有符号数的换算方法

无符号数换算

使用函数 B2Uw（Binary to Unsigned）来表示，宽度为 w：

以4位二进制数为例：

有符号数的换算方法

上文提到，有符号数在计算机中以补码形式存在，其换算公式用 B2Tw（Binary to Two's complement）表示：

下面以4位二进制数为例：

此外，还有一种更通用的方法：利用原码、反码、补码之间的转换规则。

原码、反码、补码

计算机中机器数的运算效率问题

首先要明确：计算机内部统一使用加法运算。没错，计算机本身并不会直接执行减法。在补码概念提出之前，让我们观察几个例子：

可以看到，当负数参与加法运算时，结果竟然出现了错误。

为了获得正确结果，计算机不得不采用迂回方式，这必然影响运行效率。为了解决这一效率瓶颈，科学家们提出了补码的概念。

补码

利用补码获取真值

如何通过补码规则得到负数的真值呢？

假设我们从计算机中读取到一个二进制数 10000001（8位机器数），如何求得它的真值？

• 步骤1：首先 10000001 是补码形式的机器数。实际上，在计算机系统中所有整数（包括正数和负数）都以补码形式存储——正数的补码与其原码相同，因此统称为补码并无问题。
• 步骤2：根据补码转换为反码的规则，补码 10000001 减1，得到反码：10000000。
• 步骤3：按照反码转换为原码的规则，符号位保持不变，其余各位取反，得到原码：11111111。
• 步骤4：依据原码的真值定义：符号位不参与数值计算，其余位即为真值的绝对值，因此真值为 -127。

补码的运算逻辑

回到之前讨论运算效率时列举的正正、负负、正负相加的示例。现在我们用补码来重新审视：

可以看出，将符号位的含义以补码形式存入计算机后，减法运算就能被加法所替代，从而大幅提升了运行效率。

补码的设计由来

前面介绍了许多内容，但大家可能会问：补码到底是如何设计出来的？这其实与数学中的“补数”概念密切相关。

补数

生活中有很多实例——凡是具有周期性的系统，都可以用补数来描述。例如时钟或转盘：

假设当前时间是2点，想让指针指向12点，有两种操作方式：

• 方式1：顺时针旋转10格，执行的是加法（+10）。
• 方式2：逆时针旋转2格，执行的是减法（-2）。

无论采用哪种方式，指针最终都指向12点，效果完全相同。我们就称+10和-2互为补数，它们的绝对值之和12即为补数的模。

这一规律被应用于计算机二进制运算中。来看一个例子：假设要计算 5 + (-1) = 5 + ( ? )

• 5在计算机中的原码：00000101
• -1在计算机中的原码：10000001

要将减法转化为加法，关键在于找到合适的模，然后用-1的正补数进行加法运算。 回想时钟的例子，每拨12格为一个周期。对于8位二进制数，其取值范围是 -128 ~ 127（这里用8位简化分析，实际系统中常采用32位或64位），它的一个周期是256，因此模为256（即 1 0000 0000）。无论加256还是减256，二进制值都不变，因为溢出位会被丢弃。

由此，我们找到-1的模是256，其补数为+255（0 1111 1111）。于是 5 - 1 就转换为 5 + 255：

5:   0000 0101
255: 0 1111 1111
相加后：1 0000 0100  -> 最高位溢出丢弃，结果为4

看，结果与5-1是不是完全一致？

计算机中的补码正是遵循这一思路：找到与负数等价的正补数，用该正补数替代负数，从而将减法运算转化为两个正数的加法。补码的诞生与运算器电路设计密切相关——从设计者的角度出发，当然希望电路越简单越好，而利用正补数代替负数可以直接去掉减法器，大大简化电路结构。

我们下期再见。

参考资料：为什么计算机中的负数要用补码表示？

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