AI用三行公式证伪雅可比猜想？87年数学难题或告破

悬而未决87年的经典数学难题——雅可比猜想（Jacobian Conjecture），可能被一个只有三行公式的反例推翻了。

7月20日，数学家、Anthropic研究人员Levent Alpöge在社交平台X公布了一个三元多项式映射。它满足了雅可比猜想要求的前提条件，却违背了猜想的结论，因此构成了一个可能推翻整个猜想的反例。

更引人关注的是，Alpöge在帖子中将这一反例归功于Anthropic最新发布的AI模型Claude Fable 5。他还表示，是朋友Akhil首先向模型提出这一问题，而Fable 5则在他们观看世界杯决赛期间持续搜索，最终找到了这一反例构造。

（来源：X）

消息发布后，数学界迅速展开核验。斯坦福大学数学系助理教授Jared Duker Lichtman转发称这一结果“相当惊人”；MathOverflow很快收录了相关讨论，不少研究者还利用Wolfram Alpha、SymPy等工具进行了独立计算。目前，最关键的两项验证：雅可比行列式是否恒为−2，以及三个不同点是否确实映射到同一点，均已通过公开计算验证。

如果后续没有发现新的漏洞，这将意味着：1939年提出的雅可比猜想在三维情形下不成立，并可进一步推出其在所有三维及以上维数下均不成立；而二维情形仍然保持开放。

被称为“民科坟场”的雅可比猜想

雅可比猜想由德国数学家奥特－海因里希·凯勒（Ott-Heinrich Keller）于1939年提出，讨论的是一个看似简单、却困扰数学界近九十年的问题：什么时候，一个多项式映射一定能够"倒推"回原来的函数？

图｜海因里希·凯勒（左）（来源：Wikipedia）

理解这个猜想，可以先想象一张橡胶膜。如果局部看，每一小块都没有被撕裂或压扁，人们很自然会问：整张膜会不会在别的地方折叠起来，让两个不同的位置重合？

数学里的情况与此类似。对于多变量多项式映射，如果它在每一个局部都满足一种“没有折叠”的条件，也就是雅可比行列式始终等于同一个非零常数。那么它是否一定在整体上也是一一对应的？它的逆映射又是否仍然是一个多项式？

这就是雅可比猜想。它的陈述只有短短几句话，却异常难以证明。不少数学研究者戏称它为“crank gra veyard”——“民科坟场”。许多人被它吸引，最终却陷入漫长而徒劳的推导之中。

著名华人数学家张益唐，就曾把整个博士阶段投入到这个问题。1991年，他在普渡大学完成博士论文《雅可比猜想与域扩张的次数》，导师莫宗坚是国际上研究雅可比猜想最重要的学者之一。张益唐的工作推进了这一研究方向，却并没有解决猜想本身。后来，他离开代数几何，转向解析数论，并最终因证明有界素数间隔而闻名世界；雅可比猜想，则依然留在开放问题名单中。

1998年，菲尔兹奖得主Stephen Smale将其列入著名的《下一个世纪的数学问题》（Mathematical Problems for the Next Century）第16题，认为它的解决将对数学发展产生重要影响。

过去近90年里，一维情形早已证明成立，二维至今仍未解决，而三维及更高维也始终没有答案。由于这一猜想要求所有维数都成立，因此，只要在任意一个维数找到反例，整个猜想就会被推翻。

三个点，击穿一个猜想

而此次，Alpöge公布的是一个从三维复空间到三维复空间的多项式映射：

直接计算一下就能发现，这个映射的雅可比行列式恒等于−2。由于−2是一个非零常数，因此它完全满足雅可比猜想的前提条件。

然而，当把三个不同的点

分别代入这一映射时，得到的结果却都是同一个点：

这足以构成反例。原因很简单：如果多个不同的输入对应同一个输出，那么映射就不是单射。换句话说，当已知输出时，无法唯一确定原来的输入，因此它不可能拥有逆映射，更不可能拥有由多项式组成的逆映射。这与雅可比猜想的结论正面冲突。

这个反例还具有极强的可核查性。许多重大数学成果往往需要专家花费数月甚至数年时间，逐页检查上百页证明；而这个结果的核心，仅涉及两项有限的代数计算：一是验证雅可比行列式恒等于非零常数，二是验证三个不同的点确实映射到了同一个点。

截至目前，这两项计算均已得到公开复核。研究者Zihan Zhang给出了独立的SymPy验证脚本，并指出，只需将其中一个输出坐标乘以−1/2，就可以把雅可比行列式规范化为猜想中更常采用的常数1，而这不会改变反例的本质。

如果这一反例最终成立，它不仅推翻三维情形，也意味着所有更高维情形都不再成立。因为只需在三维反例后增加若干保持不变的坐标，就可以直接构造出任意更高维的反例。不过，二维雅可比猜想仍然是一个独立的开放问题。

值得补充的是，Levent Alpöge并不是从AI领域半路进入数学，而是一位长期从事数论与算术几何研究的职业数学家。近年来，他才加入Anthropic，从事人工智能研究。

他本科毕业于哈佛大学，主修数学，并获得物理学硕士学位；随后在剑桥大学完成数学高级研究课程。2020年，他在普林斯顿大学获得数学博士学位，导师是菲尔兹奖得主Manjul Bharga va。

图｜Levent Alpöge（来源：Quanta Magazine）

大型语言模型兴起后，Alpöge开始转向人工智能。他曾在个人主页写道，GPT-4让他认为人工智能是“人类创造过的最有意思的东西”，因此重新回到计算机科学领域，希望增加这场变化产生积极结果的可能性。

根据目前公开的信息，这次发现的大致过程是：Akhil提出问题，Alpöge将其交给Claude Fable 5进行探索，模型最终给出了具体的反例构造；随后，Alpöge公开了这一构造，数学界再通过人工推导以及Wolfram Alpha、SymPy等工具进行了独立验证。

这一过程与AI替数学家写出一份传统意义上的数学证明有所不同。对于否定一个猜想而言，并不需要解释所有可能情况，只需要找到一个满足前提、却违反结论的反例即可。这样的任务天然适合计算探索：模型可以不断尝试构造候选映射、调整参数、检查雅可比条件，再寻找是否会出现不同点映射到同一点的情况。

如果这一反例最终得到确认，它带来的意义将十分重大。因为它展示了一种此前极少出现的研究模式：不是AI帮助数学家验证已经存在的思路，而是AI参与寻找一个人类87年来始终没有找到的数学对象。

从AlphaGeometry解决竞赛题，到GPT、Gemini参与证明具体命题，再到这一次可能找到推翻经典猜想的反例，大模型参与数学研究的角色正在发生变化。它开始探索的，不再只是“答案”，而是过去只有数学家才会进入的未知搜索空间。