AI发现反例推翻87年雅可比猜想三维及以上

7月21日，数学界迎来一场引人瞩目的突破。一个仅由216个字符构成的显式三变量多项式反例，直接推翻了困扰学界长达87年的雅可比猜想。7月20日，Anthropic旗下研究员、哈佛大学数学家莱文特·阿尔珀格（Levent Alpöge）在X平台上公布了这一重大发现，并特别指出，这一反例的诞生离不开Anthropic的Claude Fable 5——它甚至在世界杯决赛期间，依然默默地进行着计算。

这项成果专门针对三变量及更高维度的情形，但并未彻底终结整个雅可比猜想。阿尔珀格给出的反例适用于三维复数空间，并且可以推广至所有更高维空间；然而，二维版本的难题依然悬而未决，等待进一步的探索。

猜想究竟说了什么

雅可比猜想由德国数学家奥托-海因里希·凯勒（Ott-Heinrich Keller）于1939年提出，并被列入数学家斯蒂芬·斯梅尔1998年列出的18个21世纪数学难题之一。该猜想讨论的是一类多变量多项式映射：如果映射的雅可比行列式处处等于同一个非零常数，那么它在局部就不会把相邻点“挤压”到一起。按照猜想，这种局部可逆性理应保证整个映射存在一个多项式反函数。

Fable 5参与找到的这个反例，恰好击中了这一猜想的缺口。该三变量映射的雅可比行列式恒等于-2，完全满足猜想的条件；但令人意外的是，三个不同的输入点，都被映射到了同一个输出点 (-1/4, 0, 0)。一个输出对应多个输入，反函数自然也就不存在了。

核验进展与学界反应

反例公布后，数学界迅速行动起来，展开核验工作。Wolfram MathWorld已经收录了完整的公式、三个输入点以及计算结果；数学家戴维·斯派尔（Da vid Speyer）在专业博客Secret Blogging Seminar上写道，这个映射通常呈现三对一的关系。谷歌DeepMind的Formal Conjectures项目也在7月20日收到了Lean形式化验证代码，目前拉取请求仍在评审中，并且明确保留了“二维版本尚未解决”的状态。

外界目前仍然不清楚这个反例究竟是如何被发现的。阿尔珀格的原帖只提到Fable在世界杯决赛期间工作；他没有公布提示词、搜索过程、模型运行次数，也未解释人和模型各自完成了哪些步骤。据New Scientist报道，阿尔珀格和Anthropic均未回应采访请求。

专家如何看待这一突破

伦敦玛丽女王大学的阿比谢克·萨哈（Abhishek Saha）对New Scientist表示，这可能是迄今为止AI参与解决或推翻的最大数学猜想。他指出，这类问题往往很难找到答案，但答案出现后相对容易核验。此次进展显示，AI的作用已经从检查人类给出的证明，延伸到搜索和构造可直接验证的数学对象。

约克大学的克里斯·鲍曼-斯卡吉尔（Chris Bowman-Scargill）则指出，找到推翻猜想的反例与建构全新数学理论是两类截然不同的工作。后者——比如怀尔斯证明费马大定理时建立整套新理论、写下约百页数学论证——仍然高度依赖人类的创造力。

目前，数学界的工作已经从核验反例转向解释其深层结构。斯派尔等人正在分析这个映射的三重分支和几何来源，Lean社区则继续推进形式化代码。三变量及更高维版本已经被反例推翻，而二维情形仍需继续寻找答案。（易句）