从一维信号卷积到图像卷积的过渡讲解

今天我们来探讨图像处理中一个非常基础但至关重要的核心概念——卷积。很多人一听到“卷积”这个词就感到头疼，觉得它是数学课上的噩梦。实际上，从一维信号到二维图像，它背后的逻辑非常直观，我们一步步来拆解。

（1）先从我们最熟悉的一维连续时间信号说起。

简单来说，连续时间信号的卷积是一种特殊的积分运算。它的过程可以想象成：一个函数固定不动，另一个函数先以y轴为对称轴进行“反转”，然后两个函数不断执行“相乘→积分→滑动”这一系列动作。这就是一维卷积的完整流程。

（2.）当我们把连续时间信号离散化之后，卷积的定义变成了下面这个样子。

其中，x(n)和h(n)就是参与运算的离散时间信号。在这个离散版本里，卷积的过程尤为清晰：在坐标轴上让x(n)保持不动，先把h(n)反转，然后不断执行“两者重合部分相乘求和，再让h(n)滑动”。

离散时间信号本质上是一串序列，它是一维的。那么，如果我们把它扩充为二维序列，那不就是图像了吗？没错，图像的本质就是灰度值的二维序列。这一步，其实就是从一维信号走向图像处理的桥梁。

（3.）下面我们就来看看图像卷积到底是怎么回事。

在这幅图中，“source pixel”就是我们的图像，它本质上是灰度的二维序列。图中的“convolution kernel”是什么呢？这个我们称之为卷积核。卷积核就好比是一维离散信号卷积中参与运算的那个信号，而图像本身，相当于另一个离散序列信号。图像卷积的过程与一维情况极其相似：

图像卷积，说白了就是卷积核在图像上按行滑动遍历像素时，不断进行“相乘再求和”的过程。举个例子：如图中所示，目前卷积核滑动到了图像的左上角。我们把图像上对应位置的9个像素值与卷积核上的9个数值，按照对应位置相乘再相加，得到一个和——这就是一个卷积值。然后，把卷积核向右移动一个像素，继续执行对应位置相乘再相加，得到第二个卷积值。当把整张图像的所有像素都遍历完之后，得到的结果就构成了一幅全新的图像。这就是我们常说的“卷积得到的图像”。

（4）不过在图像处理中，我们通常不会为了卷积而去卷积。为什么这么说？

按照卷积的定义，它是与卷积核相乘求和的结果。如果图像本身像素的数据类型是8位无符号数，那么它的灰度范围是0（黑色）到255（白色）。这样一来，相乘后的值很容易就超过255了。超了怎么办？一般就是直接截断为255。从上面的过程就能看出来，单纯的卷积确实没什么实用价值——图像卷积的真正用武之地，远不止于此。

（5）图像卷积最常用的场景包括：图像滤波（平滑化）、图像梯度、开运算、闭运算、黑帽运算、顶帽运算等形态学处理，以及基于梯度运算的边缘提取。

比如均值滤波，它的卷积核长这样：

它也是按照卷积运算的过程——相乘求和再滑动。只不过它的核里每个值都是1，而且在求和之后还会除以核的大小来取平均。这样一来，卷积的结果就变成了原图像像素的局部平均值。

再比如高斯滤波，它的卷积核长这样：

高斯滤波的核有个特点：离中心越近的值越大，也就是说不同位置的权重不同。在相乘求和之后，它会除以核内所有数值的总和，从而保证灰度值不会超出范围。

看到这里，你可能会疑惑：“不是正在说卷积吗，怎么开始扯滤波了？”

情况是这样：滤波的本质就是卷积，它是按照某种特殊规则去进行的卷积。此时使用的卷积核不是随意的，而是有既定的规矩。比如卷积核通常取3×3、5×5这样具有中心的对称核，而且核内数值的分布也有严格规定，具体视不同的滤波方式而定。

说到这儿，还得聊聊什么是卷积核。卷积核其实就是一种求和的规则，是一种映射规则。原图像像素点的值与对应位置上的卷积核的值相乘，然后按权重（即卷积核的数值）相加。如果用数学来表达，就是：
src（原图像） × kernel（映射规则） = result（卷积结果）。
所以，卷积核本质上就是一种运算规则。根据卷积核规则的不同，衍生出了不同的滤波方式、不同的梯度运算方式等等。

讲到这里，我想再展开说说“为什么卷积一下就能滤波”。举个例子：比如刚才提到的均值滤波，它的映射规则（也就是卷积核）就是全部是1除以核大小。这意味着，原图像与这样的卷积核卷积的结果，就是把原图像对应位置的像素值全部加起来再取平均值。对于5×5的核来说，就是所有值乘以1/25再相加。很显然，卷积的结果就是把原图像的像素值取了个平均值。这样一来，像素与像素之间的差异性就变小了。图像中那些分明的线条和边界，正是由于像素值存在巨大差异导致的。差异性减小了，边界自然就模糊了，图像也就变得平滑了。

说到滤波，它在数字信号处理中，比如高通滤波，就是为了滤除高频信号（那些分布在高频区域的信号）。在图像滤波中也是同理。刚才说滤波后像素之间的差异性变小了，这其实就意味着滤除了高频成分。高频信号的定义就是变化很快的信号。在图像中，如果两个像素差异很大，那就意味着移动一个像素的距离带来的变化是巨大的。当这些巨大的变化连接起来，就形成了图像中的图形边界或线条。这也是为什么线条和边缘被称之为图像中的“高频信号”。

看到这里，应该就能理解为什么卷积一下就能滤波了吧？卷积的一种重要应用形式就是滤波。当然，不同的卷积核会带来不同的卷积效果，所以卷积还有梯度运算等其他应用形式，差别就在于卷积核的不同。

总结起来就是：图像卷积依靠卷积核完成，卷积核规定了运算规则，滤波是卷积运算所带来的效果。不同的卷积核会得到不同的卷积效果，所以衍生出了不同种类的滤波、形态运算、梯度运算等等概念。可以看出，卷积是图像处理的基础，许许多多的处理方法都离不开卷积。

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