波兰物理学家用算子统一数学告别背公式时代

在数学学习的旅途中，你是否曾好奇到底需要记忆多少公式？

从初中的正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan），到高中的自然对数（ln）、常用对数（log）、平方根（sqrt），再到高阶的指数运算、幂运算以及双曲函数……这些数学符号如同蓬勃生长的藤蔓，遍布你的笔记本。每一个符号都拥有独立的定义、独特的图像以及一系列专属性质。

长期以来，我们可能认为数学的本质就是不断累加——知识点越学越多，内容越学越杂，公式永远背不完，试卷永远做不尽。

但如果换一个视角思考：所有这些看似庞杂的数学工具，是否有可能全部是同一个核心公式的不同表现形式？

2026年4月，来自波兰雅盖隆大学的物理学家安杰伊·奥德尔齐沃莱克（Andrzej Odrzywołek）发表了一篇开创性论文。论文标题直译为：「利用单一二元运算符生成所有初等函数」。

这个神奇的运算符定义如下：eml(x, y) = eˣ − ln(y)。

简洁至极，仅此一行——指数运算减去对数运算。

然而，奥德尔齐沃莱克证明了一个令数学界为之震动的结论：只需将这个运算不断嵌套自身，如同俄罗斯套娃般层层递进，就能推导出科学计算器上的每一个功能按键。

无论是三角函数、对数函数、开根号运算、幂运算、双曲函数，甚至是圆周率π和自然常数e，都能从这个简单算子中自然「生长」出来。

换句话说，科学计算器上数十个按键的复杂功能，理论上只需一个核心运算即可统一表达。

一个算子如何统治所有函数？

让我们从一个最简单的例子开始理解。

想要得到指数函数eˣ？只需将eml的第二个参数y设为1即可：eml(x,1) = eˣ − ln(1) = eˣ − 0 = eˣ。一步到位，简洁高效。

要得到自然常数e本身？将两个输入参数都设置为1：

eml(1,1) = e¹ − ln(1) = e − 0 = e

常数e便直接浮现出来。

想要得到对数函数ln(x)？这需要更深层的嵌套，一共三层：首先利用eml构造一个中间值，再将其重新输入到eml中，通过指数与对数的相互抵消，最终得到ln(x) = eml(1, eml(eml(1,x),1))。

更令人惊叹的是，要得到圆周率π，需要五层嵌套。这一过程利用了欧拉公式e^(iπ) = −1的逆向推导——先构造出−1，再通过复数对数运算，π便从中呈现。

要得到虚数单位i？需要六层嵌套。

那么最基本的加法运算x+y呢？这个看似最基础的运算，反而需要五层嵌套才能表达。原因在于eml的底层语言本质是指数与对数，它需要将加法转化为ln(eˣ·eʸ)这种「指数-对数」形式的方言，再通过eml嵌套构建出来。

这听起来像是一场精妙绝伦的数学魔术。但奥德尔齐沃莱克通过详尽的计算搜索证明：这并非个别的巧合，而是一种系统性的完备性。

每一个初等函数，都能在这棵「嵌套树」中找到属于自己的精确位置。

数学界的「与非门」，为何程序员最先沸腾

这里有一个非常恰当的类比，程序员们一定再熟悉不过：现代计算机的完整逻辑体系，理论上只需要一种门电路——与非门（NAND gate）。

无论是与门（AND）、或门（OR）、非门（NOT）还是异或门（XOR），所有布尔逻辑运算都可以通过不同组合的NAND门来实现。NAND门堪称数字世界的「万能积木」。本质上，整个CPU就是由数十亿个NAND门排列组合而成的。

而奥德尔齐沃莱克发现的eml算子，实现了完全类比的壮举——只不过它的战场不再是离散的0和1，而是连续数学的整个广袤疆域。

正如科技媒体The Register所形容的那样：在数字硬件领域，仅需一个二输入门就能实现所有布尔逻辑；如今，连续数学也可能找到了属于自己的类似原语。

有人立刻联想到Y组合子——另一个计算机科学中经典的「从虚无中创造万物」的概念。

更有趣的是质疑与讨论的声音。有人提出疑问：超几何函数不是早已统一了这些函数吗？这个发现的边界究竟在哪里？也有人追问：使用eml门进行运算，其复杂度是否真正优于传统方法？

这些深入探讨恰恰揭示了这项发现的价值——它并非在回答一个旧问题，而是在提出一个全新问题：连续数学的最小公理集，究竟能精简到何等程度？

反直觉的真相：数学的尽头是极简

我们从小接受的数学教育，往往塑造了一个根深蒂固的印象：数学是一座不断向上生长的大厦，每一层都比上一层更为复杂。从加减乘除到方程求解，从方程到函数，从函数到微积分，知识只会越积越多，公式只会越背越厚。

但eml算子的发现，犹如一把锋利的手术刀，划开了这座大厦的外墙，露出了内部的钢筋骨架——而那根核心骨架，其简洁程度令人震惊。

三百年来，无数学生为之苦恼的庞杂函数族谱：三角函数、反三角函数、双曲函数、对数函数、幂函数……它们看似各自独立，各有各的公式与性质。但如今我们得知，它们全部是同一个「超级祖先」的后代，都是eml(x,y)=eˣ−ln(y)这一行核心代码通过不同方式自我折叠后的产物。

这并非意味着数学变简单了，而是我们终于认清了一个事实：数学原本就从未如此复杂过。

这一发现与物理学的发展历程高度相似。在牛顿之前，人们认为天上的运动与地上的运动遵循两套完全不同的规则，直到万有引力将它们统一。在麦克斯韦之前，电和磁被视为两种毫不相干的现象，直到电磁方程组将它们融为一体。如今，在数学的初等函数世界里，也迎来了属于自己的「统一场论」。

波兰雅盖隆大学的物理学家Andrzej Odrzywołek

如果你愿意将想象力再向前推进一步，这项发现将带你进入一些非常有趣的思考领域。

如果宇宙的数学底层逻辑真的可以某种「源代码」来描述，那么这段源代码很可能比任何人想象的都要简短。eml算子暗示了一种可能性：宇宙——无论你如何定义这个词——或许是一位极致追求极简的设计者。它没有创造一百种工具来搭建世界，而是只写了一行核心函数，然后让其自我折叠、自我嵌套，最终涌现出三角函数、对数、微积分乃至整个物理世界所依赖的数学语言。

这个思路在AI时代具有一层格外深刻的意味。当前主流的大语言模型——如GPT、Claude、Gemini——其策略可以概括为「大力出奇迹」：依赖千亿级参数、海量数据、巨大算力来穷举人类知识的所有模式。这是一条「从复杂走向复杂」的道路。而奥德尔齐沃莱克的发现则指向了一条截然相反的路径：从极简出发，通向万物。一个算子，一个常数，通过无限嵌套，最终实现全面涌现。

这不禁引发我们深入追问：如果连续数学的底层逻辑可以如此精简，那么未来的AI架构是否也存在某种「单算子」式的底层重构可能？是否还存在一种尚未被发现的计算原语，能够用极少的参数完成今天需要千亿参数才能实现的任务？

目前，还没有人知道确切答案。但这个问题本身，或许比答案更为重要。